Prüfungsprotokoll

Mathe im Physik-Vordiplom

Prüfer: Prof. Dürr

Datum: 2005-04-04

Hier sind also die Fragen zu meiner Prüfung, soweit ich mich noch erinnern kann:

Mit was würden Sie denn am liebsten beginnen?

Cauchy-Integral-Formel [BILD] (hingeschrieben und kurz erklärt)

(Dürr freute sich über diese Antwort, weil anscheinend die Cauchy-Integralformel seine Lieblingsfrage ist, wie man in alten Fachschafts-Protokollen sieht).

Und was passiert wenn ich öfter um den Nullpunkt rumlaufe?

Wenn man 5 mal rumläuft muss kommt eben [BILD] raus, wenn man verkehrt rum rumläuft kommt [BILD] raus u.s.w..

Wie berechnet man das Integral im Kreis um den Nullpunkt von 1/Z.

Parametrisierung durch [BILD] und a läuft von 0 bis [BILD].

Dann kommt [BILD] raus.

Voraussetzung, damit Cauchy Integral-Satz geht?

Sterngebiet, komplex differenzierbar.

Wie kann man [BILD] berechnen?

Übergang in komplexe Zahlenebene:

[BILD]Man geht auf der reellen Achse von -R bis +R (wobei man R gegen Unendlich gehen lässt). Dann geht man oben auf einem Halbkreis zurück. Das Integral über den oberen Halbkreis ergibt Null (Denn die Funktion [BILD] nimmt für große R wie [BILD] ab, aber die Länge vom Halbkreis nimmt nur wie R zu.).

Die Funktion [BILD] hat Residuen bei +i und -i weil bei diesen x-Werten hat man unter dem Bruchstrich Null weil [BILD] .

Deshalb ergibt das gesuchte Integral nach dem Residuensatz [BILD] weil dieses Residuum im Halbkreis ist. (Das andere Residuum bei -i ist nicht im Halbkreis.)

Das gesuchte Residuum bei +i ist [BILD] [BILD]

Also ergibt das Integral [BILD].

Was ist ein Banachraum?

Vollständiger, normierter Vektorraum.

Und wenn die Norm auf einem Skalarprodukt beruht, dann ist es ein Hilbert-Raum.

Wie ist das Skalarprodukt im [BILD] ?

Ein Vektor im [BILD] ist z.B [BILD].

[BILD]

Dann kam noch was mit Hölder-Ungleichung vor, also [BILD] .

Was ist der [BILD] ?

[BILD]. (Und zusätzlich müssen die Funktionen wohl noch messbar sein).

Das [BILD] zeigt, dass das Integral hier ein Lebesque-Integral ist.

Berechnung von Fourier-Reihen bei [BILD]

Im Prinzip normale Furier-Berechnung, nur dass man als Basisvektoren [BILD] nimmt, der zusätzliche Faktor [BILD] kommt daher, dass man hier nicht von 0 bis [BILD] sondern von 0 bis 1 integriert (und die Basis also nicht [BILD] periodisch, sondern 1 periodisch sein muss).

Was muss gelten, damit die Fourier-Reihe konvergiert?

Die Funktion darf keine zu feine Struktur haben (Ich hab probiert irgendwas mit Hölder-stetig vom Grade 1 zu erzählen, Prof. Dürr erklärte, dass die Funktion 2 mal differenzierbar sein muss.

Bezüglich welcher Funktionen ist der [BILD] dicht?

Treppenfunktionen.

Was ist mit der Differentialgleichung [BILD]

Man definiert einen Vektor in der Art [BILD]

Dann wird die Gleichung zu etwas in der Art von [BILD] wobei [BILD] eine Matrix ist.

Welche Lösungsansätzte gehen (nicht)

[BILD] geht nicht, weil [BILD].

[BILD] geht auch nicht, weil Matrizen nicht vertauschen.

Prof. Dürr fragte auch noch ein paar allgemeine Sachen zu Differentialgleichungen und wollte noch auf Satz von Picard Lindelöff raus.

Prüfungsdauer: ca. 30 Minuten.

Gute Notengebung, Professor Dürr verlangt auch nicht, dass man alles sofort weiß. Dadurch, dass er meistens fragt, womit man beginnen will, kann man selber ein bisschen steuern, in welche Richtung die Prüfungsfragen gehen. Ich meine, er ist als Prüfer empfehlenswert.


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